С такими темпами форум превратится в математический, для мамочек с детьми начальных классов ))

Здравствуйте, зависит от того что арендатор у Вас оплачивает. Если полностью всю квитанцию, то пропорционально дням считаете (там +/- все статично), а вот счетчики считаются по показаниям и умножаются на тариф, то есть по фактическому потреблению

Обычно арендаторы платят только платежи по счетчикам. Если у Вас установлен иной порядок, то:
Вариант 1 простой: сумму последней квитанции разделить на 30 и умножить 13.
Вариант 2 сложный. из суммы последней квитанции отнять то, что по счетчикам, полученное разделить 30 и полученное умножить на 13. Далее по счетчикам посчитать фактически потребленные ресурсы (вода, свет, воотвод, возможно теплоэнергия) и прибавить к сумме платежей за 13 дней.

Как он оплачивал коммунальные платежи когда заехал? Обычно не платят за полмесяца. А в следующем месяце за месяц плюс по счетчикам. Так что если у вас договор с 14 и он съезжает 13- значит должен заплатить за весь прожитый месяц плюс что счетчики накрутили

Если получите квитанцию за апрель, то 13/30 от ее суммы. Если не получите, то как вариант сумма за март/31*13. Средне статистически расход за ресурсы, потребляемые по счетчикам, из месяца в месяц примерно одинаковый, поэтому расчет будет относительно верен. Показания на всякий случай сверьте с теми, которые Вам присылал наниматель.

Наниматель оплачивает за тот период, в который он фактически пользовался коммунальными услугами. Это не фиксированная часть оплаты по найму. Так что, да, Вы правы: полная сумма по квитанциям последнего месяца + 13 дней текущего месяца.